凸优化|笔记整理(4)——次梯度案例,加速梯度法,随机梯度下降法,近端梯...
Nesterov加速梯度法：最为著名的加速梯度方法，其迭代公式结合了梯度项与动量项，使方法能够在达到更小值的同时，达到更优的收敛速度。该方法对函数的凸性要求相对宽松，并能达到次线性收敛速度。次梯度方法：重要性：在处理非光滑函数时尤为重要。
综上，近端梯度下降法通过结合梯度迭代与近端映射，有效解决包含可微与不可微凸函数的优化问题，特别适用于 Lasso 等特定问题。
收敛性分析：当函数具有光滑性和凸性时，梯度下降法具有显著的收敛性，且收敛速度一般与迭代次数的对数相关。在强凸函数下，收敛速度更快。 线性收敛速度：在凸优化问题中，梯度下降法具有线性收敛速度，这是其重要特性之一。
次梯度方法在处理大规模数据集或非凸优化问题时具有优势，但由于缺乏梯度的精确信息，可能在精度上不如梯度方法。总结 梯度方法和次梯度方法在优化领域发挥着关键作用，分别适用于凸和非凸优化问题。梯度方法在凸函数下具有良好的收敛性，但可能在非凸函数下仅找到局部极小值。
在凸优化问题中，梯度下降法的线性收敛速度是其重要特性，与次线性收敛速度的梯度算法相比，这是一个显著优势。凸性对于最速下降法而言，是一个至关重要的性质，它确保了算法的高效性和稳定性。次梯度方法是梯度方法的自然推广，适用于不可导函数的优化问题。
本文探讨了凸优化中的两种方法，近端梯度下降（PG）和半二次分裂法（HQS），它们在处理带有可微分部分和不可微分部分的问题时展现出了相似的理论基础和求解策略。问题模型中，[公式] 的核心在于区分了可微函数g与不可微函数h，[公式] 是问题的关键。
小红书笔记优化技巧有哪些?优化提示怎么处理?
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